吉林省考：数学运算 之牛吃草问题解答

　　数学运算当中的“牛吃草问题”是学生们普遍反映得较为困难的一类题型，综合多次教学中的授课经验和学员反馈，对牛吃草问题做如下总结：

　　在授课过程中，每当讲到牛吃草问题的时候，我总是先做一番假设，在草地上有一牧场草和在我们教室有一地牧草供牛来吃是一样的吗?总是有的同学说一样，也就是说其实在这类问题中有一部分考生并没有注意到牛吃草问题其实草的量是变化的，把它当作一个简单的消耗问题来解答，必然会出现错误。但大部分学生还是会注意到牛吃草问题牧场中的草的量是变化的这一问题。

　　对该类问题的解答，授课当中笔者尝试使用过多种方法讲授，从学生反馈的学习效果来看，学生普遍认为以下两种方法较易于理解：

　　例题1：一个牧场，可供10头牛吃20天、15头牛吃10天，可供多少头牛吃4天?

　　方法一：将“牛吃草问题”想象成一个非常理想化的数学模型：假设总的牛当中有X头是“剪草工”，这X头牛只负责吃“每天新长出的草，并且把它们吃完”，这样草场相当于不长草，永远维持原来的草量，也就成为了一个简单的消耗性问题了，而剩下的(27-X)头牛是真正的“顾客”，它们负责把草场原来的草吃完。便可以根据几次“顾客”牛的数量*时间这个量相等，也就是牧场原本的一地草量相等来列方程。

　　例题解析:设每天新增加草量恰可供X头牛吃一天,N头牛可吃4天(后面所有X均为此意)

　　可供10头牛吃20天， 列式：(10-X)*20 即：(10-X)头牛20天把草场吃完

　　可供15头牛吃10天， 列式：(15-X)*10 即：(15-X)头牛9天把草场吃完

　　可供几头牛吃4天? 列式：(N-X)*4 即：(N-X)头牛4天把草场吃完

　　因为草场草量新长出的草已被“剪草工”修理掉，而牧场中原有草量相同，所以，联立上面三个式子

　　(10-X)*20 =(15-X)*10=(N-X)*4 左右两边各为一个方程，即：

　　(10-X)*20 =(15-X)*10 【1】

　　(15-X)*10=(N-X)*4 【2】

　　解这个方程组，得 X=5(头) Y=30(头)

　　方法二：将“牛吃草问题”与工程问题当中的干扰问题相结合。例如：工程问题中有这样一类题目：

　　例题2：(2003年国家B类第11题)一个浴缸放满水需要30分钟，排光一浴缸水需要50分钟，假如忘记关上出水口，将这个浴缸放满水需要多少分钟( )

　　A.65 B.75 C.85 D.95

　　题目当中叙述了一缸水有一个进水管和一个出水管同时打开，而进行把一个浴缸放满水的效果，进水管的效率大于出水管的效率，也就是两个水管同时工作的总效率为：进水管工作效率-出水管工作效率。我们假设工程总量为1，于是进水的效率为1/30，出水的效率为1/50。那么根据工作总量=工作效率*工作时间可以列出如下方程：(1/30-1/50)*t=1。解方程便可以得知同时开放两个水管把浴缸放满要75分钟。此题当中是一个进水管做正功，一个出水管做负功，最后达到将一个空浴缸放满水的效果这样一类问题的方法可以总结为(进水效率-出水效率)*时间=一个浴缸的水。而牛吃草问题与之类似，只是牛吃草问题是牧场原有一地草，经过了牛吃和长草两个同时进行的过程后，一地草消失了。与给浴缸放水问题的差异是，浴缸放水问题进水效率大于出水效率，最后达到空缸变满缸的效果。而牛吃草问题，吃草效率大于长草效率，最后达到了满地草变成空地的效率。于是可以找出与浴缸放水类似的等量关系：(牛吃草的效率-草地长草的效率)*时间=一个牧场的草。而此时就需要我们假设一头牛一天只吃一棵草，那么牛吃草的效率在数量上便可以等价于牛的数量，于是该等量关系变成：(牛的数量-草地长草效率)*时间=一个牧场草。而其中“草地长草效率”和“一个牧场的草”两个概念都是未知量，我们分别把这们设为X和Y,根据题目当中的条件，可以列出下列方程：

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