农安华图：数学运算-容斥原理

农安华图：数学运算-容斥原理

　　对于容斥问题，我们都不会很陌生，容斥问题的基础原型就是高中学过的集合问题，容斥原理问题分为两大类，一类是两集合容斥原理，第二类是三集合容斥原理，对于两集合容斥原理问题，一般题型利用公式就可以解决，而对于三集合容斥原理，可采用三集合容斥原理的标准型公式与变式，也可以画出图示，进行解题。

　　两集合容斥原理的公式：满足条件1+满足条件2-两条件都满足=总数-都不满足

　　三集合容斥原理标准的公式：满足条件1+满足条件2+满足条件3-满足条件1、2-满足条件2、3-满足条件1、3+三个条件都满足=总数-都不满足

　　三集合容斥原理的变式：满足条件1+满足条件2+满足条件3-1×仅满足条件两个条件-2×三个条件都满足=总数-都不满足

　　下面通过几个例题了解容斥原理

　　【例1】某班有60人，参加物理竞赛的有30人，参加数学竞赛的有32人，两科都没有参加的有20人。同时参加物理、数学两科竞赛的有多少人?

　　A.28人 B.26人 C.24人 D.22人

　　【答案】D

　　【解析】二集合标准公式，参加物理竞赛30人，数学竞赛32人，都未参加20人，总人数60人，参加数学+参加物理-都参加的人数=总人数-都未参加，30+32-X=60-20，X=22。因此，本题答案为D选项。

　　【例2】某委员会有成员465人，对2个提案进行表决，要求必须对2个提案分别提出赞成或反对意见。其中赞成第一个提案的有364人，赞成第二个提案的有392人，两个提案都反对的有17人。问赞成第一个提案且反对第二个提案的有几人?

　　A.56人 B.67人 C.83人 D.84人

　　【答案】A

　　【解析】根据二集合容斥原理公式，可列式为：364+392-两者都赞同的人数=465-17=448，解得两者都赞同的人数为364+392-448=308，则赞成第一个提案且反对第二个提案的人数共有364-308=56人，故正确答案为A。

　　2015年国考又出现了容斥原理问题，而且出现了两个题。

　　【例3】网管员小刘负责甲、乙、丙三个机房的巡检工作，甲、乙和丙机房分别需要每隔2天、4天和7天巡检一次。3月1日，小刘巡检了3个机房，问他在整个3月有几天不用做机房的巡检工作?

　　A.12 B.13 C.14 D.15

　　【答案】C

　　【解析】方法一：根据三集合容斥原理的标准公式：需要工作的天数为11+7+4-3-2-1+1=17天，故休息的天数为14天。

　　【例4】某企业调查用户从网络获取信息的习惯，问卷回收率为90%。调查对象中有179人使用搜索引擎获取信息，146人从官方网站获取信息，246人从社交网络获取信息，同时使用这三种方式的有115人，使用其中两种的有24人，另有52人这三种方式都不使用，问这次调查共发出了多少份问卷?( )

　　A.310 B. 36 C.390 D. 410

　　【答案】D

　　【解析】根据三集合容斥原理的变式，179+146+246-24-2×115=总人数-52，解得总人数为369，故问卷数量为369÷90%=410。因此，本题答案为D选项。

　　对于容斥原理问题，我们一定要掌握容斥原理的基本公式极其变式，如果对于容斥原理的公式不是很了解，可以画图解决，画图可以解决这类的问题。

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