吉林省公务员 考试网容斥原理问题解析

　　一、知识要点

　　在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。它的基本形式有两种：

　　(1)两个集合的容斥关系：记A、B是两个集合，属于集合A的东西有A 个，属于集合B的东西有B个，既属于集合A又属于集合B的东西记为 A∩B，有 个;属于集合A或属于集合B的东西记为A∪B ，则有：A∪B = A+B - A∩B。

　　(2)三集合的容斥关系：如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。用符号来表示为：A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C

　　二、解题方法

　　(1)公式法：当题目中的条件完全符合以下两个公式时，用公式直接代入求解。

　　两个集合：A∪B = A+B - A∩B=总个数 –两者都不满足的个数

　　三个集合：A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C

　　=总个数–三者都不满足的个数

　　(2)画图法：条件或者所求不完全能用上述两个公式表示时，利用文氏图来解决。画图法核心步骤：

　　①画圈图; ②填数字(先填最外一层，再填最内一层，然后填中间层); ③做计算。

　　(3)三集合整体重复型核心公式：

　　假如满足三个条件的元素数量分别为A、B、C，总量为M，满足两个条件的总和为x，满足三个条件的个数为y，三者都不满足的条件为p，则有：

　　A∪B∪C= A+B+C-x-2y=M-p。

　　三、例题解析：

　　【例1】现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都做错的有4人，则两种实验都做对的有多少人【国2006一类-42】

　　A.27人 B.25人 C.19人 D.10人

　　【答案】B

　　【解析】设两种实验都做对的有x人，

　　根据核心公式：40+31-x=50-4， 解得x=25

　　【例2】某单位有60名运动员参加运动会开幕式，他们着装白色或黑色上衣，黑色或蓝色裤子。其中有12人穿白上衣蓝裤子，有34人穿黑裤子，29人穿黑上衣，那么穿黑上衣黑裤子的有多少人? 【2008年广东省】

　　A.12 B14 C15 D.19

　　【答案】C

　　【解析】根据核心公式：34+29-x=60-12，解得x=15

　　【例3】某专业有学生50人，现开设甲、乙、丙三门选修课。有40人选修甲课程，36人选修乙课程，30人选修丙课程，兼选甲、乙两门课的有28人，兼选甲、丙两门课的有26人，兼选乙、丙两门课程的有24人，甲、乙、丙三门课程均选的有20人，问三门课均未选的有多少人?【2009浙江省】

　　A.1人 B.2人 C.3人 D.4人

　　【答案】B

　　【解析】根据核心公式：40+36+30-28-26-24+20=50-x，解得x=2