数量运算之排列组合解题 方法

数量运算之排列组合解题方法

　　排列组合问题是数学运算中相对独立的一块，在公务员考试中的出场率颇高，2013年的国考中出现两道，2012及2011的国考中分别出现一道，并且这部分题型的难度在逐渐加大，解题方法也越来越多样化，所以在掌握了基本方法原理的基础上，还要求我们熟悉主要解题思想。

　　一、基本原理

　　加法原理：完成一件事，有N种不同的途径，而每种途径又有多种可能方法。那么，完成这件事就需要把这些种可能的做法加起来;

　　乘法原理： 完成一件事需要n个步骤，每一步分别有m1，m2，…，mn种做法。那么完成这件事就需要:m1×m2×…×mn种不同方法。

　　二、基本定义

　　排列：排列的字母表示是A(m，n)，表达的意思是从n个元素中取出m个元素，进行全排列(对m个元素进行排序)。

　　组合：组合的字母表示是C(m，n)，表达的意思是从n个元素中取m个元素，不进行排列(对m个元素不进行排序)。

　　组合是从n个不同的元素种选出m个元素，有多少种不同的选法。只是把m个元素选出来，而不考虑选出来的这些元素的顺序;而排列不光要选出来，还要把选出来的元素按顺序排上，也就是要考虑选出元素的顺序。所以从这个角度上说，组合数一定不大于排列数。

　　三、解题方法

　　解决排列组合问题有几种相对比较特殊的方法:隔板法，特殊优先法，间接计数法，捆绑法与插空法。以下逐个说明:

　　(一)隔板法

　　例：10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的分配方法?

　　分析：把10个名额看成十个元素，把这10个元素任意分成8份，并且每份至少有一个类似该种思维，实际上就是在这十个元素之间形成的九个空中，选出七个位置放置档板，就可以很形象的达到目标。

　　(二)特殊优先法

　　特殊元素，优先处理;特殊位置，优先考虑。

　　例：六人站成一排，求甲不在排头，乙不在排尾的排列数;

　　分析：(1)先考虑排头，排尾，但这两个要求相互有影响，因而考虑分类。第一类：乙在排头，有A(5，5)种站法;第二类：乙不在排头，当然他也不能在排尾，有4*4*A(4，4)种站法;共A(5，5)+4*4*A(4，4)种站法。

　　(三)间接计数法

　　例：三行三列共九个点，以这些点为顶点可组成多少个三角形?

　　分析：有些问题正面求解有一定困难，可以采用间接法。该题直接去求三角形的个数分类太多，比较复杂;换个方式思考，所求问题的方法数=任意三个点的组合数-三点共线的情况数。

　　(四)捆绑法与插空法

　　例：某人射击8枪，命中4枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同的情况?

　　分析：连续命中的三枪与单独命中的一枪不能相邻，因而这是一个插空问题。另外没有命中的之间没有区别，不必计数。即在四发空枪之间形成的5个空中选出2个的排列，即A(5，2)。

　　总的来说，排列组合问题虽然很难，但只要分清楚什么时候是分类什么时候是分步，并算清楚每一类或每一步的方法数(此时往往是用排列或者组合，注意是否与顺序有关)，如果是分类再把每一类的方法数加起来，如果是分步就把每一步的方法数撑起来。遵循这样的解题思路，才能更准确的解决排列组合这一较难的专题。

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