2020年国考中考生必争模块—容斥问题

2020年国考中考生必争模块—容斥问题

　　什么是容斥问题呢，容斥问题其实就是研究集合与集合之间的相互关系的一类问题，那什么是集合呢，集合就是把一类属性的东西放在一块，就是集合。就拿咱们班来说，所有的男生都有一个共同的属性，我们画一个圈，让男生都进去，这就是一个集合，男生的人数呢就代表着圈的大小，女生也同样如此，这个圈也代表着女生的人数，同样这也是另外一个集合。这两个圈有怎样的关系呢，要么重合，要么相交，要么分离。当然放在男生女生里面就没有重合了。那么容斥问题也包含了两集合容斥问题和三集合容斥问题。那么什么是两集合容斥问题呢，通过小学考试例子推到出基本公式：总=A+B-AB+非AB。近几年国考对其的考察频率如下表：

　　【例1】某班有38名学生，一次数学测验共有两道题，答对第一题的有26人，答对第二题的有24人，两题都答对的有17人，则两题都答错的人数是?()

　　A.3B.5

　　C.6D.7

　　【答案】B

　　【解析】本题考查容斥原理。设两题都答错的人数为x，根据两集合标准型公式总=A+B-AB+非AB，有26+24-17=38-x，解得x=5。故本题选B。

　　【例2】(2013-北京-73)一批游客中每人都去了A、B两个景点中至少一个。只去了A的游客和没去A的游客数量相当，且两者之和是两个景点都去了的人数的3倍。则只去一个景点的人数占游客总人数的比重为?()

　　A.3(2)B.4(3)

　　C.5(4)D.6(5)

　　【答案】B

　　【解析】由“一批游客中每人都去了A、B两个景点中至少一个”，可知这批游客分为三类:只去了A的.只去了B的和两者都去了的，进而可知“没去A的”等价于“只去了B的”。由此不难得出只去一个景点的人数占游客总人数的比重为3+1(3)=4(3)。选择B。

　　那么什么是三集合问题呢，通过纸糊墙的例子推到出基本公式：总=A+B+C-AB-AC-BC+ABC+非ABC。

　　【例3】某专业有学生50人，现开设有甲、乙、丙三门必修课。有40人选修甲课程，36人选修乙课程，30人选修丙课程，兼选甲、乙两门课程的有28人，兼选甲、丙两门课程的有26人，兼选乙、丙两门课程的有24人，甲、乙、丙三门课程均选的有20人，问三门课程均未选的有多少人?( )

　　A.1人B.2人

　　C.3人D.4人

　　【答案】B

　　【解析】本题考查容斥原理。设三门课程均未选的有x人，根据三集合标准型公式总=A+B+C-AB-AC-BC+ABC+非ABC，40+36+30-28-26-24+20=50-X，解得X=2。

　　【例4】(2012-春季联考-54)某公司招聘员工，按规定每人至多可投考两个职位，结果共42人报名，甲、乙、丙三个职位报名人数分别是22人、16人、25人，其中同时报甲、乙职位的人数为8人，同时报甲、丙职位的人数为6人，那么同时报乙、丙职位的人数为?()

　　A.7人B.8人

　　C.5人D.6人

　　【答案】A

　　【解析】本题考查容斥原理。设同时报乙、丙职位的人数为x人，根据三集合容斥的基本公式：42=22+16+25-8-6-X+0，解得X=7。选择A。

　　这些就是利用容斥问题来解决问题的题型，如果能够熟练掌握技巧的话，做这类题目是非常简单的，利用容斥问题解决题目是非常快速的，并且准确率非常的高。所以同学们要多多练习这一个知识点，并且提高这类题目的敏感度，这样出现了类似的题目，就可以很快的解决出来了。

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