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方程法之不定方程

2015-08-18 11:01:03 吉林公务员考试网 jl.huatu.com 文章来源：吉林华图

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方程法之不定方程

　　方程法是广大考生做数学运算题目时应用最广泛的办法，那么对于常规的方程法解题大家要熟悉如何准确的寻找题目中的等量关系来列方程、学会如何巧设未知数、掌握方程组的加减消元法和代入消元法以及整体解方程的技巧。但对于方程法的应用还有一类大家觉得比较困难的问题，那就是不定方程以及不定方程组的问题，并且这些问题近年来在国、联、省考当中出现的频率也越来越高了，需要大家掌握这类问题的求解方法。那么我们首先来看一下不定方程问题。

　　当一个方程有多个未知数时，我们就称这样的方程为不定方程。比如：3x-4y=6，方程只一个，但未知数却有两个，这就是不定方程。古希腊著名数学家丢番图曾在其著作《算术》中介绍过关于不定方程，所以不定方程又叫丢番图方程。

　　很明显，在不定方程3x-4y=6中，x、y的取值有无数个，不定方程的解往往有无数个。我们这里介绍的不定方程，一般都会有条件限制，比如说上述不定方程中的x、y只能是自然数，这样我们可以根据限制的条件来求出不定方程的解。所以，解答这类方程，一定要找出题中明显或隐含的限制条件。

　　解不定方程的方法主要有两种，第一种是代入排除法。比如下面的例题：

　　【例1】(2014-广东-36)办公室工作人员使用红、蓝两种颜色的文件袋装29份相同的文件。每个红色文件袋可以装7份文件，每个蓝色文件袋可以装4份文件。要使每个文件袋都恰好装满，需要红色、蓝色文件袋的数量分别为( )个。

　　A.1、6 B.2、4

　　C.3、2 D.4、1

　　【答案】C

　　【解析】【解析】C，二元一次不定方程。设红色文件袋用了x个，蓝色文件袋用了y个，根据题意有7x+4y=29。使用代入排除法，发现3*7+2*4=29符合条件，故本题正确答案为C。

　　当代入法应用起来比较麻烦或题目不好代入排除时，不定方程主要采用数字特性来解决，主要包括奇偶特性、尾数特性、整除特性。求解不定方程问题，通过这些特性可以比较快速和方便的下面我们通过例题一一来了解。

　　v 奇偶特性

　　上道例题还可以从数的奇偶性入手考虑。29是一个奇数，4Y一定是个偶数，那么，7X就一定是个奇数，那么X取值只能取奇数，排除A、C，代入B或者D即可得到正确答案，也能起到简便解题过程的作用。

　　【例2】一个质数的3倍与另一个质数的2倍之和等于20，那么这两个质数的和是( )。

　　A. 9 B. 8

　　C. 7 D. 6

　　【答案】A

　　【解析】设这两个质数分别为X、Y，则有3X+2Y=20。根据奇偶特性，20、2Y都是偶数，可以推出3X也是偶数。3是奇数，所以X是偶数，同时X又是质数，因此，X=2，Y=7，X+Y=9。因此，本题答案为A选项。

　　v 尾数特性

　　【例3】超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装12个苹果，小包装盒每个装5个苹果，共用了十多个盒子刚好装完。问两种包装盒相差多少个?( )

　　A.3 B.4

　　C.7 D.13

　　【答案】D

　　【解析】设有大包装盒x个，小包装盒y个，根据题意可知，12x+5y=99。由奇偶性可知，5y必为奇数，即y为奇数，则5y的尾数只能是5，此时12x的尾数是4，x=2或7。当x=2时，y=15，符合题意，故两种包装盒相差15-2=13个。(当x=7时，y=3，此时x+y=10，不符合“共用了十多个盒子”的要求)

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