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隔板法的基础与进阶应用

2023-02-06 10:42:53 吉林公务员考试网 jl.huatu.com 文章来源:华图教育

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隔板法的基础与进阶应用

  同学们在学习排列组合问题时,应该接触到了其中的一类题目:将相同的m个元素,分成n份,每份至少一个,共有多少种分法。我们把解决此类问题的方法叫做隔板法。

  在操作过程我们在m个元素间,即m-1个空中插入n-1个板子,将其分成了n份,于是我们得出公式。

  这个公式称为隔板法的基础模型公式。从题型上来看,必须满足:

  1.n个元素必须相同,2.每个组至少分到一个元素。

  应用如下:

  【例1】把7支相同的笔分给参加会议的4名教师,每人至少1支,至多3支,共有多少种分法?

  A.32

  B.20

  C.16

  D.10

  【解析】第一步,本题考查排列组合问题,属于方法技巧类,用隔板法解题。

  第二步,7支笔,每人至少1支,有(种)分法,根据每人至多3支,可知按4、1、1、1分配,有4种分法不符合题意,故共有20-4=16(种)分法。

  因此,选择C选项。

  以上是以“每人分到元素至少一个”的基础模型,在此基础上,当“每人分到元素至少大于1个时”又该怎么办呢。

  【例2】把20支相同的笔分给参加会议的4名教师,每人至少3支,共有多少种分法?

  A.165

  B.170

  C.180

  D.190

  【解析】第一步,本题考查排列组合问题,属于方法技巧类,用隔板法解题。

  第二步,先给每个老师每人分2只笔,此时题目转换为还剩下12支笔,分给4个老师每人至少一支笔。符合隔板法基础模型。共有种分法。因此选择A选项。

  所以当每人分到的元素个数k大于1时先给每人分k-1个,将题目转换为基础模型再套用基础公式即可。

  那么当“每人分得元素可以为0个”时呢。

  【例3】把7支相同的笔分给参加会议的4名教师,允许有人分不到,共有多少种分法?

  A.90

  B.100

  C.110

  D.120

  【解析】第一步,本题考查排列组合问题,属于方法技巧类,用隔板法解题。

  第二步,先借来4支笔,每个老师每人分一支,此时题目转换为11支相同的笔,分给4个老师,每人至少分一个的基础模型题目,符合隔板法基础模型。共有种分法。

  因此选择D选项。

  综上所述,我们所需要重点掌握的是隔板法的基础模型,即将相同的m个元素,分成n份,每份至少一个。以及它的核心公式。

  无论当每人分得的元素大于1时,还是可以等于0时,核心思路都是将题目转换为基础模型并套用公式加以计算。希望大家以后在遇到此类问题时,能够第一时间做到题目辨析,抓住分数。

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