农安华图：数学运算之不定方程的解法

农安华图：数学运算之不定方程的解法

　　近几年的公务员行测考试中，对于不定方程的应用比较多，在最近的09-14年国考、春季联考中，考察了6道题目。可以说这类题目已经成为了一种命题惯性和命题热点，但是由于不定方程的求解本身是比较复杂的，所以考试中考察不定方程不可能倾向于理论的考察，我们遇到的基本上是对不定方程基本性质的考察。

　　不定方程的概念：我们以往学习的方程都是按照设、列、解三步，因此我们最常见的方程是可解的，因为这里的方程必须满足一个条件：未知数的个数等于方程的个数。比如x+3=5，方程只有一个解，即x=2。但是当未知数的个数不等于方程的个数时，我们的得到的方程就是不定方程。如x+y=4，两个未知数对应一个方程。这就是一个不等方程问题，对于这个不定方程，我们的解可以是x=0，y=4;x=1，y=3;x=2，y=2;……其解的个数在不限制其他条件下是有无限多的，这是不定方程的基本性质。

　　我们考试中见到的不定方程，答案都是唯一的，这就说明那些不定方程肯定是有限制条件的，一旦加上限制条件，不定方程的解就是唯一的了。不定方程看似无法解，实质上其可以结合多种小技巧达到快速做题的目的。

　　公考中解决不定方程的三种方法主要是：代入排除法、尾数特性、奇偶特性。

　　方法1：代入排除法。代入排除法看起来非常简单，但是对于解题来说有时候会达到事半功倍的效果。考试中不定方程要想利用代入排除法，通常需要满足一个条件，就是选项信息比较充分。选项信息充分的含义就是，选项给出来的可以直接带到题目中去，快速的验证。

　　【例1】装某种产品的盒子有大、小两种，大盒每盒装11个，小盒每盒装8个，要把89个产品装入盒内，要求每个盒子都恰好装满，需要大、小盒子各多少个?( )

　　A.3，7 B.4，6

　　C.5，4 D.6，3

　　【答案】A

　　【解析】在这种题目中，首先我们会列出下列方程，设大、小盒子的个数分别为x、y，则11x+8y=89。这是一个不定方程，由不定方程的性质可知，其解的个数有无数多，但是由于盒子的个数必须是整数，所以它的解是确定的值，但是我们依然无法直接求解，但是我们会发现，选项的信息非常充分，正好是我们所要求的，故此类不定方程采用代入排除的方法进行求解。因此选项只有A项满足。

　　方法2：尾数特性。当我们发现此不定方程不适合用代入排除时，我们可以考虑用尾数法来解决，而且尾数法通常还可以结合代入排除进行解题。

　　【例2】超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装12个苹果，小包装盒每个装5个苹果，公用了十多个盒子刚好装完。问两种包装盒相差多少个?( )

　　A.3 B.4

　　C.7 D.13

　　【答案】D

　　【解析】 本题首先列出方程，设大、小包装盒分别有x、y个，则有 12x+5y=99，且x+y>10。本题中问的是两种包装盒相差多少个，不适合用代入排除法，因此可以考虑尾数法。5y的尾数可以是0或5，当其尾数是0时，12x的尾数就是9，很显然不可能，因此5y的尾数只能是5，则12x的尾数是4，x可以是2或7。当x=2时，y=15，得到y-x=13;当x=7时，y=3，此时x+y=10，不满足题意。因此就可以得到答案为D。

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