省考数量关系—二集合容斥问题解题技巧

【例1】(2017江西)某乡有32户果农，其中有26户种了柚子树，有24户种了橘子树，还有5户既没有种柚子树也没有种橘子树，那么该乡同时种植柚子树和橘子树的果农有：

【例2】(2018广州)篮子里有苹果和梨子两种水果若干个，将这些水果分发给13人，每人zui少拿一个，zui多拿两个不同的水果。已知有9个人拿到了苹果，有8人拿到了梨，zui后全部分完。那么，有( )人只拿到了苹果。

【例3】(2014浙江)某委员会有成员465人，对2个提案进行表决，要求必须对2个提案分别提出赞成或反对意见。其中赞成第*个提案的有364人，赞成第二个提案的有392人，两个提案都反对的有17人。问赞成第*个提案且反对第二个提案的有几人?

上述的几道题，都是属于二集合容斥的题目，我们不难发现，这一类题目都具备一个共性，涉及两个主体(或集合)，讨论的也是两个主体(或集合)相互之间的包含关系，这就是二集合容斥问题的题型特征。

接下来，需要了解如何解这一类题型。

方法一：图示法。

适用范围：所有二集合容斥的题目。

步骤：根据图形各区域面积之和等于总面积构建等式。

重点：标记顺序从中心到两边，有数写数无数标记。

缺点：由于需要画图，耗时比较长。

接下来我们使用图示法来解一道题目。

【例2】(2018广州)篮子里有苹果和梨子两种水果若干个，将这些水果分发给13人，每人zui少拿一个，zui多拿两个不同的水果。已知有9个人拿到了苹果，有8人拿到了梨，zui后全部分完。那么，有( )人只拿到了苹果。

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

【答案】D

【解析】

第*步，本题考查二集合容斥问题，可以使用图示法解题。

第二步，将拿苹果的人数视为集合A，拿梨的人数视为集合B，使用图示法可得：

第三步，解方程：9-x+x+8-x=13，可得x=4，而问的是只拿了苹果的人数，所以答案=9-x=5。

因此，选择B选项。

方法二：公式法。

公式：总人数-都不满足的人数=A+B-AB

适用范围：上述5个量知4求1。

缺点：适用性比图示法窄。

接下来我们使用公式法来解一道题目。

【例1】(2017江西)某乡有32户果农，其中有26户种了柚子树，有24户种了橘子树，还有5户既没有种柚子树也没有种橘子树，那么该乡同时种植柚子树和橘子树的果农有：

A. 23户

B. 22户

C. 21户

D. 24户

【答案】A

【解析】

第*步，本题考查容斥问题，属于二集合容斥类。

第二步，设同时种植柚子树和橘子树的果农有x户，根据二集合容斥公式，可得32-5=26+24-x，解得x=23。

因此，选择A选项。

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