2022年行测备考立体几何中“蚂蚁”与“壁虎”所引发的最短路径问题

2022年行测备考立体几何中“蚂蚁”与“壁虎”所引发的最短路径问题

　　行测考试中，几何问题是考查频次较高的一个知识点，考查范围可能是平面几何或者立体几何。但在立体几何中，有这样一类题型，就是让一只“蚂蚁”或者“壁虎”从几何体中的某一个点到另外一个点，求蚂蚁爬行的最短距离。立体几何实际上考查的是考生的空间想象能力，看考生是否能将数形结合的思想运用于其中，解决这一类题型最有效的办法是将立体几何展开构成一个平面图形，然后再进行分析计算。那么，问题来了。请各位小伙伴思考一个问题，是否所有的路径最短问题都是拆立体几何为平面图形吗?

　　【例1】一只蚂蚁从右图的正方体顶点沿正方体的表面爬到正方体顶点，设正方体边长为a，问该蚂蚁爬过的最短路程为：

　　A.aB.a

　　C.()aD.()a

　　【答案】B

　　【解析】如下图所示，把题干中的立体几何正面展开构成平面几何，则蚂蚁所爬行的路径为AC，因“两点之间直线距离最短”，为此只需要求出AC的长度即可。因为直角三角形，为此AC==

　　因此，选择B答案。

　　【例2】长、宽、高分别为12cm、4cm、3cm的长方体上，有一个蚂蚁从A出发沿长方体表面爬行到获取食物，其路程最小值是多少cm?

　　A.13B.

　　C.D.17

　　【答案】B

　　【解析】如下图所示，仍然将长方体展开为平面图形，根据题干所求为的长度，三角形为正方形，根据勾股定理即可求出，即=

　　因此，选择B答案。

　　经过以上两个例子，不难看出，求几何体中路径最短问题，都是将立体几何拆成平面几何，然后采用勾股定理即可求出。那么，问题又来了。是不是所有的立体几何拆成平面几何以后，它所经过的行径就是最短距离呢?请接着往下看。

　　【例3】一个不计厚度的圆柱型无盖透明塑料桶，桶高2.5分米，底面周长为24分米，AB为底面直径。在塑料桶内壁桶底的B处有一只蚊子，此时，一只壁虎正好在塑料桶外壁的A处，则壁虎从外壁A处爬到内壁B处吃到蚊子所爬过的最短路径长约为：

　　A.10.00分米B.12.25分米

　　C.12.64分米D.13.00分米

　　【答案】C

　　【解析】壁虎需要从外壁爬到内壁去吃蚊子，为此最短路径问题有两种情况需要考虑。

　　(1)情况一：圆柱侧面不展开，根据两点之间线段最短，壁虎可以先竖直走上去，然后竖直走下去，再走直径(桶是中空的)，此时，走过的距离为2.5+2.5+直径(d)，根据πd=24，取π≈3.14，解得d≈7.64，此时走过的最短距离为2.5+2.5+7.64=12.64(分米)。

　　(2)情况二：圆柱侧面展开为矩形，两点之间线段最短，我们需要将A、B两点放在同一个平面上连线即可，壁虎所经过的行径为AC+CB，现作BD的延长线DP，使得DP+BD，连接CP，此时，即CP=CB，要使得AC+CP最短，只需AC+CP最短即可。当A、C、P三点共线时距离最短，即三点都在同一直线上。为此在直角三角形ABP中，根据勾股定理，AB=12，，即AP=13分米。结合这两种情况，第一种情况距离最短。

　　因此，选择C选项。

　　思维导图

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