数量关系之轻松搞定容斥原理

数量关系之轻松搞定容斥原理

　　容斥原理是行测考试中的一类常考题型，常见的容斥原理涉及两集合容斥原理和三集合容斥原理。这类题型特征明显，方法固定，属于易拿分的题型，接下来给大家分享一下容斥原理的做题方法。

　　一、题型特征

　　题目的条件中出现“都满足”或者“都不满足”，其本质是找到并去除重复的过程。

　　二、解题技巧

　　①公式法

　　两集合容斥原理：总个数-两者都不满足的个数=A+B-AB。其中A、B分别代表满足不同条件的数量，AB代表两个条件都满足的数量。

　　三集合容斥原理标准型：总个数-都不满足的个数=A+B+C-AB-BC-AC+ABC。其中A、B、C代表满足不同条件的数量，AB、BC、AC代表分别满足其中两个条件的数量，ABC代表三个条件都满足的数量。

　　三集合容斥原理非标准型：总个数-都不满足的个数=A+B+C-只满足两个条件的数量-2×ABC。

　　②画图法

　　操作方法：画图——标注条件——找面积相等。适用于所有的容斥问题，特别地，当题目中出现“只满足”或者“仅满足”时，画图法最适合，且标注数据时从中心向外逐次标注。

　　三、例题精讲

　　【例1】运动会上100名运动员排成一列，从左向右依次编号为1-100，选出编号为3的倍数的运动员参加开幕式队列，而编号为5的倍数的运动员参加闭幕式队列。问既不参加开幕式又不参加闭幕式队列的运动员有多少人?( )

　　A.46 B.47

　　C.53 D.54

　　【答案】C

　　【解析】问题中出现“既不…也不…”，属于两集合容斥类。编号为3的倍数的运动员有100÷3=33…1，即33位，编号为5的倍数的运动员有100÷5=20位。编号既是3又是5的倍数(即15的倍数)的运动员有100÷15=6…10，即6位。根据两集合公式，100-既不参加开幕式也不参加闭幕式的运动员=33+20-6，利用尾数法，可得既不参加开幕式也不参加闭幕式的运动员的数量为53。因此，本题选择C选项。

　　【例2】对39种食物中是否含有甲、乙、丙三种维生素进行调查，结果如下：含甲的有17种，含乙的有18种，含丙的有15种，含甲、乙的有7种，含甲、丙的有6种，含乙、丙的有9种，三种维生素都不含的有7种，则三种维生素都含的有多少种?( )

　　A.4 B.6

　　C.7 D.9

　　【答案】A

　　【解析】题目中出现“含甲、乙;含甲、丙;含乙、丙”，应使用三集合标准型公式：17+18+15-(7+6+9)+三种维生素都含=39-7，利用尾数法，可得三种维生素都含的数量为4。因此，本题选择A选项。

　　【例3】某企业调查用户从网络获取信息的习惯，问卷回收率为90%。调查对象中有179人使用搜索引擎获取信息，146人从官方网站获取信息，246人从社交网站获取信息，同时使用这三种方式的有115人，使用其中两种的有24人，另有52人这三种方式都不使用。问这次调查共发出了多少份问卷?( )

　　A.310 B.360

　　C.390 D.410

　　【答案】D

　　【解析】题目中出现“使用三种方式、使用两种方式”，应使用三集合容斥原理的非标准型公式：179+146+246-24-2×115=总人数-52，解得总人数为369，故问卷数量为369÷90%=410。因此，本题选择D选项。

　　【例4】联欢会上，有24人吃冰激凌、30人吃蛋糕、38人吃水果，其中45既吃冰激凌又吃蛋糕的有12人，既吃冰激凌又吃水果的有16人，既吃蛋糕又吃水果的有18人，三样都吃的则有6人。假设所有人都吃了东西，那么只吃一样东西的人数是多少?( )

　　A.12 B.18

　　C.24 D.32

　　【答案】B

　　【解析】问题中出现“只吃一样”，所以使用画图法，并注意从中心往外逐次计算标数：

　　由图所示，只吃一样东西的有2+6+10=18(人)。因此，本题选择B选项。

　　以上就是对容斥原理知识的讲解，大家一定要牢记此类题型的特征以及方法，多加练习，只有这样，才能在考场上迅速辨认出来，并拿下这类题型的分。

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