“两数之差”问题-双阳华图

“两数之差”问题-双阳华图

　　备考技巧之“两数之差”问题

　　鸡兔同笼中的总头数是“两数之和”，如果把条件换成“两数之差”，又应该怎样去解呢?

　　【例1】 买一些4分和8分的邮票，共花6元8角.已知8分的邮票比4分的邮票多40张，那么两种邮票各买了多少张?

　　解一：如果拿出40张8分的邮票，余下的邮票中8分与4分的张数就一样多.

　　(680-8×40)÷(8+4)=30(张)，这就知道，余下的邮票中，8分和4分的各有30张.

　　因此8分邮票有40+30=70(张).

　　答：买了8分的邮票70张，4分的邮票30张.

　　也可以用任意假设一个数的办法.

　　解二：譬如，假设有20张4分，根据条件“8分比4分多40张”，那么应有60张8分.以“分”作为计算单位，此时邮票总值是4×20+8×60=560.比680少，因此还要增加邮票.为了保持“差”是40，每增加1张4分，就要增加1张8分，每种要增加的张数是：

　　(680-4×20-8×60)÷(4+8)=10(张).

　　因此4分有20+10=30(张)，8分有60+10=70(张).

　　【例2】 一项工程，如果全是晴天，15天可以完成.倘若下雨，雨天一天工程要多少天才能完成?

　　解：类似于例3，我们设工程的全部工作量是150份，晴天每天完成10份，雨天每天完成8份.用上一例题解一的方法，晴天有

　　(150-8×3)÷(10+8)= 7(天).

　　雨天是7+3=10天，总共7+10=17(天).

　　答：这项工程17天完成.

　　请注意，如果把“雨天比晴天多3天”去掉，而换成已知工程是17天完成，由此又回到上一节的问题.差是3，与和是17，知道其一，就能推算出另一个.这说明了例7、例8与上一节基本问题之间的关系.

　　总脚数是“两数之和”，如果把条件换成“两数之差”，又应该怎样去解呢?

　　【例3】 鸡与兔共100只，鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几只?

　　解一：假如再补上28只鸡脚，也就是再有鸡28÷2=14(只)，鸡与兔脚数就相等，兔的脚是鸡的脚4÷2=2(倍)，于是鸡的只数是兔的只数的2倍.

　　兔的只数是：(100+28÷2)÷(2+1)=38(只).

　　鸡是：100-38=62(只).

　　答：鸡62只，兔38只.

　　当然也可以去掉兔28÷4=7(只).兔的只数是(100-28÷4)÷(2+1)+7=38(只).

　　也可以用任意假设一个数的办法.

　　解二：假设有50只鸡，就有兔100-50=50(只).此时脚数之差是：

　　4×50-2×50=100，

　　比28多了72.就说明假设的兔数多了(鸡数少了).为了保持总数是100，一只兔换成一只鸡，少了4只兔脚，多了2只鸡脚，相差为6只(千万注意，不是2).因此要减少的兔数是：

　　(100-28)÷(4+2)=12(只).

　　兔只数是：

　　50-12=38(只).

　　另外，还存在下面这样的问题：总头数换成“两数之差”，总脚数也换成“两数之差”.

　　【例4】 古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字;七言绝句是四句诗，每句都是七个字.有一诗选集，其中五言绝句比七言绝句多13首，总字数却反而少了20个字.问两种诗各多少首.

　　解一：如果去掉13首五言绝句，两种诗首数就相等，此时字数相差

　　13×5×4+20=280(字).

　　每首字数相差：7×4-5×4=8(字).

　　因此，七言绝句有：28÷(28-20)=35(首).

　　五言绝句有：35+13=48(首).

　　答：五言绝句48首，七言绝句35首.

　　解二：假设五言绝句是23首，那么根据相差13首，七言绝句是10首.字数分别是20×23=460(字)，28×10=280(字)，五言绝句的字数，反而多了：460-280=180(字).与题目中“少20字”相差：180+20=200(字).

　　说明假设诗的首数少了.为了保持相差13首，增加一首五言绝句，也要增一首七言绝句，而字数相差增加8.因此五言绝句的首数要比假设增加

　　200÷8=25(首).

　　五言绝句有

　　23+25=48(首).

　　七言绝句有

　　10+25=35(首).

　　在写出“鸡兔同笼”公式的时候，我们假设都是兔，或者都是鸡，对于例1、例2和例3三个问题，当然也可以这样假设.现在来具体做一下，把列出的计算式子与“鸡兔同笼”公式对照一下，就会发现非常有趣的事.

　　【例1】，假设都是8分邮票，4分邮票张数是(680-8×40)÷(8+4)=30(张).

　　【例2】，假设都是兔，鸡的只数是(100×4-28)÷(4+2)=62(只).

　　【例3】，假设都是五言绝句，七言绝句的首数是(20×13+20)÷(28-20)=35(首).

　　首先，请读者先弄明白上面三个算式的由来，然后与“鸡兔同笼”公式比较，这三个算式只是有一处“-”成了“+”.其奥妙何在呢?当你进入初中，有了负数的概念，并会列二元一次方程组，就会明白，从数学上说，这一讲前两节列举的所有例子都是同一件事.

　　【例4】

　　有一辆货车运输2000只玻璃瓶，运费按到达时完好的瓶子数目计算，每只2角，如有破损，破损瓶子不给运费，还要每只赔偿1元.结果得到运费379.6元，问这次搬运中玻璃瓶破损了几只?

　　解：如果没有破损，运费应是400元.但破损一只要减少1+0.2=1.2(元).因此破损只数是(400-379.6)÷(1+0.2)=17(只).

　　答：这次搬运中破损了17只玻璃瓶.

　　请你想一想，这是“鸡兔同笼”同一类型的问题吗?

　　【例5】 有两次自然测验，第一次24道题，答对1题得5分，答错(包含不答)1题倒扣1分;第二次15道题，答对1题8分，答错或不答1题倒扣2分，小明两次测验共答对30道题，但第一次测验得分比第二次测验得分多10分，问小明两次测验各得多少分?

　　解一：如果小明第一次测验24题全对，得5×24=120(分).那么第二次只做对30-24=6(题)得分是：8×6-2×(15-6)=30(分). 两次相差：120-30=90(分).

　　比题目中条件相差10分，多了80分.说明假设的第一次答对题数多了，要减少.第一次答对减少一题，少得5+1=6(分)，而第二次答对增加一题不但不倒扣2分，还可得8分，因此增加8+2=10分.两者两差数就可减少6+10=16(分).(90-10)÷(6+10)=5(题).

　　因此，第一次答对题数要比假设(全对)减少5题，也就是第一次答对19题，第二次答对：30-19=11(题).

　　第一次得分：5×19-1×(24- 9)=90.

　　第二次得分：8×11-2×(15-11)=80.

　　答：第一次得90分，第二次得80分.

　　解二：答对30题，也就是两次共答错

　　24+15-30=9(题).

　　第一次答错一题，要从满分中扣去5+1=6(分)，第二次答错一题，要从满分中扣去8+2=10(分).答错题互换一下，两次得分要相差6+10=16(分).

　　如果答错9题都是第一次，要从满分中扣去6×9.但两次满分都是120分.比题目中条件“第一次得分多10分”，要少了6×9+10.因此，第二次答错题数是：(6×9+10)÷(6+10)=4(题)·

　　第一次答错 9-4=5(题).

　　第一次得分 5×(24-5)-1×5=90(分).

　　第二次得分 8×(15-4)-2×4=80(分).
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