排列组合问题之— 插板法

排列组合问题之—插板法

　　排列组合问题是国考和吉林省考考察的重点题型，本文将对排列组合问题当中的一类问题以及解决的方法—“插板法”做较详细的说明，所谓插板法，指在排列组合问题当中的解决若干相同元素分组，要求每组至少一个元素时采用将比所需分组数目少1的板插入元素之间形成分组的解题策略，下面我们以一些题型来具体说明。

　　【基本题型】

　　有n个相同的元素，要求分到m组中，并且要求每组中至少有一个元素问有多少种分法?

　　【基本解题思路】

　　将n个相同的元素排成一行，n个元素之间出现了(n-1)个空档，现在我们用(m-1)个“档板插入(n-1)个空档中，就把n个元素隔成有序的m份，每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素(可能是1个、2个、3个、4个、….)，这样不同的插入办法就对应着n个相同的元素分到m组的一种分法，这种借助于这样的虚拟“档板”分配元素的方法称之为插板法。

　　【基本题型例题】

　　【例1】 共有10完全相同的球分到7个班里，要求每个班至少要分到一个球，问有几种不同分法?

　　解析一：

　　我们首先用常规方法。若想将10个球分到7个班里，球的分法共三类：

　　第一类：有3个班每个班分到2个球，其余4个班每班分到1个球。这样，第一步，我们7个班中选出3个班，每个班分2个球;第二步，从剩下的4个班中选4个班，每班分1球。其分法种数为 ：

(种)。

　　第二类：有1个班分到3个球，1个班分到2个球，其余5个班每班分到1个球。其分法种数 ：

(种)。

　　第三类：有1个班分到4个球，其余的6个班每班分到1个球。其分法种数 ：

(种)所以，10个球分给7个班，每班至少一个球的分法种数为： 35+42+7=87(种)。

　　从上面的解题过程可以看出，用常规方法解这类题，需要分类计算，计算过程繁琐。并且如果元素个数较多的话处理起来就变得十分的困难了。因此我们需要寻求一种新的方法解决问题，也就是—插板法。

　　解析二：我们可以将10个相同的球排成一行，10个球之间出现了9个空隙，现在我们用6个“档板”插入这9个空隙中，就把10个球隔成有序的7份，每个班级依次按班级序号分到对应位置的几个球(可能是1个、2个、3个、4个)，这样，借助于虚拟“档板”就可以把10个球分到了7个班中。

　　由上述分析可知，原问题就可以转化成：在9个空档之中插入6个“档板”(6个档板可把球分为7组)的问题，这是一个很简单的组合问题，其方法种数为 ：

。

　　【基本题型总结】

　　对于这种要求每组元素至少要分到一个的情况，则只需在n个元素的n-1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有

种不同方法。

　　【注意】

　　这种插板法解决相同元素分到不同组的问题非常简单，但同时也提醒各位考生，这类问题模型适用前提相当严格，必须同时满足以下3个条件：

　　(1)所有要分的元素须完全相同;

　　(2)所要分的元素必须分完，决不允许有剩余;

　　(3)参与分元素的每组至少分到1个，决不允许出现分不到元素的组。

　　这样对于很多的问题，是不能直接利用插板法解题的。但，可以通过一定的转变，将其变成符合上面3个条件的问题，这样就可以利用插板法解决，并且常常会产生意想不到的效果。

　　【基本题型的变形(一)】

　　题型：有n个相同的元素，要求分到m组中，问有多少种不同的分法?

　　解题思路：这种问题是允许有些组中分到的元素为“0”，也就是组中可以为空的。对于这样的题，我们就首先将每组都填上1个，这样所要元素总数就m个，问题也就是转变成将(n+m)个元素分到m组，并且每组至少分到一个的问题，也就可以用插板法来解决。

　　【例2】有8个相同的球放到三个不同的盒子里，共有()种不同方法.

　　A.35 B.28

　　C.21 D.45

　　解析：这道题很多同学错选C，错误的原因是直接套用“插板法”，而忽略了题中并没有说每个盒子至少要分到一个球，也就是可以出现空盒子。原题并不符合“插板法”的条件不过，此题只要我们多一个小变化，就可以将其转化为用“插板法”解题的类型了。我们可以人为地在每个盒子增加一个球，原有8个相同的球放到三个不同的盒子里这样这个问题就变成了，11个相同的球放到3个不同盒子里面。要求每个盒子里最少有一个的问题了。

　　这样，此题就有

(种)分法了，选项D为正确答案。

　　【基本题型变形(一)总结】对于这种要求每组元素至少要分到一个的情况，则只需在n个元素的n-1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共

种不同方法。

　　【基本题型的变形(二)】

　　题型：有n个相同的元素，要求分到m组，要求各组中分到的元素至少某个确定值s(1，且每组的s值可以不同)，问有多少种不同的分法?

　　解题思路：这种问题是要求组中分到的元素不能少某个确定值s，各组分到的不是至少为一个了。对于这样的题，我们就首先将各组都填满，即各组就填上对应的确定值s那么多个，这样就满足了题目中要求的最起码的条件，之后我们再分剩下的球。这样这个问题就转变为上面我们提到的变形(一)的问题了，我们也就可以用插板法来解决。

　　【例3】某单位订阅了30份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料。问一共有多少种不同的发放方法?( )

　　A.12 B.10

　　C.9 D.7

　　解析：先用27份材料发给三个部门各9份(符合起码要求)，再把3份材料发给三个部门即可,也就对应着将6份材料分成3组里，并且每组不能为空的问题，这样利用插板法，就有：

(种)

　　【基本题型变形(二)总结】对于要求分到各组的个数至少为某个一个确定值(大于1)的题，我们就先每组中人为填上等于确定值的那么多的球数，这样满足其最起码的条件，然后我们再分剩下的球，就可以利用我们前面提到的“插板法”第一种变形题的解法来解决了。

　　从上面这些例题的解法中，我们可以看出对于“至少一个”型的计数问题和“相同元素”等问题，通过插板法可使问题的解决变得简便快捷，这也是各位考生需要掌握的一个较重要的方法。

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