吉林省考巧用容斥原理解题

吉林省考巧用容斥原理解题

　　在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。容斥原理即高中教材上的集合问题。

　　在行测考试中，我们必须对基础的公式烂熟于心(如，两集合型标准公式：满足条件A的个数+满足条件B的个数-同时满足条件A、B的个数=总数-A、B皆不满足的个数)。当然除此之外，还需弄清容斥原理的实质，以快速判断题型、找到应对方法、快速得出答案。下面我们来看两个相对复杂的题目。

　　一名外国游客到北京旅游。他要么上午出去游玩，下午在旅馆休息;要么上午休息，下午出去游玩，而下雨天他只能一天都呆在旅馆里。其间，不下雨的天数是12天，上午呆在旅馆的天数为8天，下午呆在旅馆的天数为12天，他在北京共呆了( )。【2007年国考】

　　A.16天 B.20天

　　C.22天 D.24天

　　这道题有两种思考方法。先看第一种，将题目中的上午、下午全都当成半天来看。根据题意，该游客待在旅馆共计20个半天，而不下雨的天数是12天，则其中有12个半天分布于这12天，剩下的8个半天则分布在下雨的天数，由此可知下雨的天数为8/2=4天。所以总天数=12+4=16天。

　　当然，也可根据两集合容斥原理公式：上午在的天数+下午在的天数-上下午都在(下雨)的天数=总的天数-都不在的天数(此题中不在的天数为0)。设总的天数为x天，那么代入公式可得：8+12-(x-12)=x-0，解得x=16，选A。

　　再来看看第二题。

　　有100人参加运动会的三个比赛项目，每人至少参加一项，其中未参加跳远的有50人，未参加跳高的有60人，未参加赛跑的有70人。问至少有多少人参加了不止一个项目?【2013年联考】

　　A.7 B.10

　　C.15 D.20

　　这是一道典型的容斥原理题目，根据题意，参加跳远的热数是100-50=50人，参加跳高的人数是100-60=40人，参加赛跑的人数是100-70=30人。要使参加了不止一个项目(即同时参加两个项目和同时参加三个项目)的人数最少，那么就让重叠的人数全部都参加三个项目(即没有仅参加两个项目的人)，设参加三个项目的人为X，则有50+40+30-2X=100，X=10，即参加不止一个项目的人最少为10人，选B。

　　从以上两道题目可以看出，为了应对千变万化的题目，我们不仅要熟记两集合、三集合的标准型公式，还需要对容斥原理的实质进行理解和把握。只有把握实质，才能学会根据题目意思对公式中的各个要素进行变换，从而得到答案。

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