2022年国考行测备考之数量关系中的多集合反向构造

2022年国考行测备考之数量关系中的多集合反向构造

　　2022年国考行测备考之数量关系中的多集合反向构造

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　　多集合反向构造是行测数量的一种常见题型，常见的题目提问方式是问“所有条件都满足的个数至少是多少?”条件之间是可以交叉重合的，初看与容斥问题很像，按照容斥问题的思路解题会很复杂，但只要应用逆向思维，解题难度即可大幅下降。

　　我们来看以下例题：

　　【例1】阅览室有100本杂志，小赵借阅过其中75本，小王借阅过70本，小刘借阅过60本，则三人共同借阅过的杂志最少有( )本。

　　A.5 B.10

　　C.15 D.30

　　【答案】A

　　【解析】例1中描述了“小赵借阅过”“小王借阅过”“小刘借阅过”三个条件，杂志是可以被这三人都借阅过的，存在交叉重合的可能性，看起来跟容斥问题很像。实际上这种题目也可以用容斥的思路来解决，我们先按照这个思路解题，后面再用逆向思维进行对比。

　　图1 容斥关系示意图

　　如图1所示，题目所求的“三人共同借阅过的杂志”是图中的x所代表的区域，若按照三集合容斥问题的公式去考虑，还有a、b、c三个区域缺乏相应的数据。我们先按照容斥的公式可得，整理得①。同时，a、x、b这三个区域只是小赵借阅过的书籍的一部分，因此有：②，同理可得

　　③，④，将②③④相加可得⑤。①×2-⑤可得x≥5。因此，答案选择A选项。

　　上述的解法虽然直观，但是解不定方程组的繁琐过程相信“劝退”了不少的考生。如果我们换个角度，采用逆向思维，则解法可以得到极大的简化。

　　杂志总数100本不变，当求“三人共同借阅过的杂志”的最小值，相当于求“没有三人共同借阅过的杂志”的最大值。小赵借阅过其中75本，即小赵没借阅过其中的25本;小王借阅过70本，即小王没借阅过其中的30本;小刘借阅过60本，即小赵没借阅过其中的40本。只要任何一个人没有借阅过，都属于“没有三人共同借阅过的杂志”。

　　那么什么时候是最大呢?当小赵没借阅过的杂志、小王没借阅过的杂志和小刘没借阅过的杂志不存在重叠时，即为最大值，此时为25+30+40=95(本)。因此“三人共同借阅过的杂志”的最小值是100-95=5(本)。

　　同样的结果，是否比原来的解法要简便很多呢?我们可以把这个思路归纳为三步：反向，求和，做差。在我们逆向思维求解的过程中，跟可能存在交叉重叠的条件个数是没有关系的，因此，只要题目是问“……都……至少……”，都可以采取这种思路快速求解。

　　图2 多集合反向构造思维导图

　　下面我们马上学以致用，用这个思路来求解下面的题目吧。

　　【例2】某中学在高考前夕进行了四次语文模拟考试，第一次得90分以上的学生为70%，第二次是75%，第三次是85%，第四次是90%，请问在四次考试中都是90分以上的学生至少是多少?( )

　　A.40% B.30%

　　C.20% D.10%

　　【答案】C

　　【解析】第一步是反向，依题意得第一次没有得90分以上的学生为30%，第二次没有得90分以上的学生为25%，第三次没有得90分以上的学生为15%，第四次没有得90分以上的学生为10%。第二步是求和，没有四次考试中都是90分以上的学生最多占30%+25%+15%+10%=80%。第三步做差，四次考试中都是90分以上的学生至少占100%-80%=20%。因此，答案选C。你做对了吗?

　

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