如何更好的解排列组合题

如何更好的解排列组合题

　　一、分类分步的解题原理

　　何为分类分步，简单来说，我要从长沙去北京，完成这样一件事情三类方法：一是坐火车过去，有3趟不同的火车;二是坐汽车过去，有2趟不同的汽车;三是坐飞机过去，有4趟不同的航班，那么我从长沙到北京就一共有3+2+4=9种不同的方法。三类方法每一类都能单独完成从长沙到北京这件事情，所以把每一类的方法数相加，这是分类相加的原理。如果我需要从长沙先到武汉，然后到北京，假设从长沙到武汉有4种方法，从武汉到北京有3种方法，那么总方法数就有4×3=12种。这是分步相乘的原理。其特点是每一步都不能缺少。

　　二、试题演练

　　分类分步是相辅相成的，做题的时候一般是先考虑分类再考虑分步。比如说这样一道题：

　　【例1】由1-9组成没有重复数字的三位数共有多少个?

　　A.432 B.504 C.639 D. 720

　　解析：三维数可以分成个、十、百三步去完成，首先完成个位，可以放任意的数字，一共有9种方法;然后完成十位，因为不能和个位一样，所以去掉个位之后还剩下8个数字，共有8种方法;最后填百位，不能和十位以及个位相同，一共有7种方法。根据分步相乘的原理，总方法数为9×8×7=504种。选择B。

　　这道题相对来说比较简单，但是再加工一下就变得比较复杂了，如下题：

　　【例2】由0-9十个数字组成的没有重复数字的三位偶数共有多少个?

　　A. 392 B.432 C.450 D.630

　　解析：分析一下这道题，题目要求是三位数，那么0这个数字就不能放在百位上了，也就是说百位共有9种方法，而十位可以任意的放置，共有10种方法，个位必须是偶数，只有0、2、4、6、8这5种方法。但我们不能说有9×10×5=450种方法。因为条件要求没有重复数字。按照分类分步的想法，可以分成这两类：

　　①个位为0，那么此时十位有9中方法，百位有8种方法，分步相乘，共有9×8=72种。

　　②个位不为0，那么此时个位有4种方法，百位也不能为0，且不能和个位重复，共有8种方法，十位只要不和百位以及个位重复就可以，共有8种方法。分步相乘共有4×8×8=320种方法。

　　按照分类相加，总方法数为 72+320=392 种。选A

　　在条件很复杂的排列组合题中我们依然可以分类分步解题。

　　【例3】现在要从甲、乙、丙、丁四个人中选出三个人来分别操作A、B、C三台机器，已知甲不能操作A机器，乙只能操作C机器。丙和丁俩人都能熟练操作这3台机器。问一共有多少种安排方法。

　　A.5 B.6 C.7 D.8

　　解析：根据例题2的分类思路，这道题我们可以这样去思考：C机器是一定要有人来操作的，如果我选了乙，他就只能去操作C机器，如果我没选乙，C机器就安排别人来操作。所以可以分为一下两类：

　　①三人中有乙，此时剩余两人不确定，但是因为机器是一定要有人来操作的，从机器的角度去思考，首先乙机器由乙来操作，只有1种方法;然后A机器不能由甲来操作，所以从丙和丁中选1人来操作A机器，有两种方法，剩余的B机器从剩余的两人中任意选一个就可以了，也有两种方法。按照分步相乘，方法数为2×2=4种。

　　②三人中没有乙，那就是选了甲丙丁三个人，此时A不能由甲操作，只能从丙丁中选一个人，有2种方法，B机器随意，从剩下两人中选一人，有2种方法，最后的一人去操作C机器。分步相乘共有2×2=4种方法。

　　再根据分类相加，总方法数为4+4=8种。选D。

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