不等式法解决反向构造问题

不等式法解决反向构造问题

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　　构造问题里有一类我们称为反向构造问题的，实际上，这类问题都是可以使用不等式进行求解的，而且过程比反向构造法要显得简洁些。希望大家能够掌握这种思维方式和技巧。

　　下面我们通过几个例题来比较两种方法。

　　例一：

　　安徽2010-12

　　某数学竞赛共160人进入决赛，决赛共4题，做对第一题的有136人，做对第二题的有125人，做对第三题的有118人，做对第四题的有104人，那么在决赛中至少几个人是满分?( )

　　A.3 B.4

　　C.5 D.6

　　这类题目的特征是一般出现三个以上的集合，最后问的都是至少为多少。我们先来看反向构造的解答：第一题没做对的有160-136=24人，第二题没做对的有160-125=35人，第三题没做对的有160-118=42人，第四题没做对的有160-104=56人。则四道题至少有一道没做对的最多有24+35+42+56=157人次。那么至少160-157=3人满分。总结出来的口诀就是反向，加和，做差。

　　我们再来看看不等式的解法。设满分的有x人，那么不满分的就有160-x人。满分的每人对4道题目，没满分的每人最多对3道题目。所以就有不等式4x+3(160-x)≥136+125+118+104.

　　解得x≥3.可知，最少为3人。可见，列出不等式后，一步到位就能解出答案了。我们再来看个例题。

　　例二：

　　2010年918联考-40

　　某社团共有46人，其中35人爱好戏剧，30人爱好体育，38人爱好写作，40人爱好收藏，这个社团至少有( )人以上四项活动都喜欢。

　　A.5 B.6

　　C.7 D.8

　　反向构造解法：反向：不爱戏剧的11人，不爱体育的16人，不爱写作的8人，不爱收藏的6人。加和：至少有一项不喜欢的最多有11+16+8+6=41人。做差：至少有46-41=5人四项都喜欢。答案选A。

　　不等式解法：设四项都喜欢的x人，则至少有一项不喜欢的(46-x)人。至少有一项不喜欢的人最多喜欢其中的三项，故有不等式4x+3(46-x)≥35+30+38+40.解得x≥5.答案选A。我们再来看个比较难的题目。

　　例三：

　　国家2008-56

　　共有100人，参加某公司的招聘考试，考试的内容共有5道题，1～5题分别有80、92、86、78和74人答对，答对3道和3道以上的人员能通过考试，请问至少有多少人能通过这次考试?( )

　　A.30 B.55

　　C.70 D.74

　　反向构造解法：反向：每答对的人数分别为：20，8，14，22，26人。加和：至少有一道题没答对的人数最多为20+8+14+22+26=90人次。答对3道和3道以上的人员能通过考试，也就意味着答错3道及以上通不过。要想使通不过的人最多，则应该每个人都答错了3道。这样通不过的人最多为90÷3=30人。通过的最少为70人。答案为C。

　　不等式解法：设通过为x人，没通过为(100-x)人。通过的最多答对了5道题目，没通过的最多答对2道题目，有不等式5x+2(100-x)≥80+92+86+78+74.解得x≥70.答案为C。

　　通过这三道题目我们看出，不等式解法更加直接，能一步到位。希望大家都能够掌握这种方法。

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