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　　方阵问题是数量关系中一类规律性较强的题型。多数同学觉得该题型为一个难点，但掌握其规律与方法，做题就会又快又准。今天带大家来看一下方阵问题的规律、方法及其应用。

　　一、方阵问题定义及其核心规律

　　方阵问题是指将元素按一定条件排成正方形(分为实心方阵与空心方阵)，我们研究“每条边上的元素个数”，“层数”，“每层元素总数”以及“方阵元素总数”的关系。

　　1.方阵元素总数=每条边上的元素个数×每条边上的元素个数

　　2.最外层元素总数=(每条边上的元素个数-1)×4

　　3.方阵层间关系

　　边边差2，层层差8：方阵每相邻两层边上元素个数相差为2，由内向外每相邻两层总元素数相差为8。(特殊：每层边上元素个数为奇数时，实心方阵最中间两层差7)

　　层数=最外层边上元素个数÷2(有余数时，商要+1)

　　二、方阵求总和方法

　　1.利用层间关系：算出各层，层层相加

　　2.利用等差数列求和

　　层数为奇数时：元素总数=中间层元素个数×层数

　　层数为任意层：元素总数=(最外层总数+最内层总数)×层数÷2

　　三、常见题型

　　【例】有绿、白两种颜色且尺寸相同的正方形瓷砖共400块，将这些瓷砖铺在一块正方形的地面上：最外面的一周用绿色瓷砖铺，从外往里数的第二周用白色瓷砖铺，第三周用绿色瓷砖，第四周用白色瓷砖……这样依次交替铺下去，恰好将所有瓷砖用完。这块正方形地面上的绿色瓷砖共有多少块：

　　A.180

　　B.196

　　C.210

　　D.220

　　【解析】D。正方形地面上共铺400块瓷砖，400=20×20，即最外层边长个数为20，层数=20÷2=10层(绿色与白色瓷砖交替各5层)，最外层绿色瓷砖总数=(20-1)×4=76。根据方阵规律可知，每相邻两层总人数相差为8，则每两层绿色瓷砖总数相差16，那么绿色瓷砖每层数量分别为76，60，44，28，12，绿色瓷砖总数=76+60+44+28+12=220。选择D。

　　【例】某表演队表演，第一次站队形时，所有人刚好站成了实心方阵;第二次有一人出来领舞，则其余人站成了一个三层的空心方阵。请问表演队共有多少人?

　　A.121

　　B.146

　　C.144

　　D.210

　　【解析】A。根据“第一次站队形时，所有人刚好站成了实心方阵”可知，表演队总人数为平方数，故排除B和D;“第二次有一人出来领舞，则其余人站成了一个三层的空心方阵”，由于空心方阵由内向外每相邻两层总人数相差为8，即每层人数形成了一个公差为8的等差数列，层数为3，所以三层总人数等于中间层人数乘以3，即总人数减1可被3整除，将A和C选项代入验证，只有A符合，选择A。

　　通过两道例题可以发现，只要我们牢记规律，就能轻松解决方阵问题。

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