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事业单位职测之数量关系:排列组合之隔板模型

2021-12-01 10:52:48 事业单位考试网 jl.huatu.com 文章来源:华图教育

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事业单位职测之数量关系:排列组合之隔板模型

  排列组合问题的题型多样灵活且不易掌握,但是在众多的排列组合题型中,有一类题目有明显的不同于其他的题型特征以及解法。下面我们就一起学习一下排列组合中的隔板模型。

  一、题目特征及其条件

  【题目】把n个相同元素分给m个不同的对象,每个对象至少 1 个元素,问有多少种不同分法的问题。

  【条件】隔板模型使用前提相当严格,必须同时满足以下 3 个条件:

  1.n个相同元素;

  2.m个不同对象;

  3.每个对象至少分到 1 个。

  二、本质及基本解题公式

  【本质】同素分堆

事业单位行政职业能力测验之数量关系:排列组合之隔板模型

  【公式】

  【引例】8个相同的苹果分给3个不同小朋友,每个小朋友至少分一个苹果,问有多少种不同的分法。

事业单位行政职业能力测验之数量关系:排列组合之隔板模型

  将8个相同苹果分成3份,只需要往8个苹果形成的空隙中插入2块板子即可,但需要注意的是,不可以在开头或者结尾的空档中加入隔板(如果在开头或结尾加入的话,就表明有一个小朋友分不到苹果),同时也不能在中间的同一个空档加入2个隔板(这样的情况也表明一个小朋友没有分到苹果)。所以,合理的分法是在8个苹果形成的7个空隙中间插入2个隔板,一共的方法有=21种方法。

  三、基本变形式

  当然公考不只考察其基础模型,还会涉及变形,但是无论怎么变形,核心点都是构造“至少分一”的基础模型。

  【变形1】n个相同元素分成m份,每份数量不定。

  【例1】将13个完全相同的小球放到4个编号分别为 1、2、3、4 的盒子中,要求每个盒子中放的球数不少于自身的编号数,则一共有多少种方法?

  A.18B.19C.20D.21

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  【解析】C。解析:此题中没有要求每个盒子中至少放一个球,而是1号盒子至少一个,2号盒子至少2个,3号盒子至少3个,4号盒子至少4个。因此首先需要做的是把这样复杂的问题转化成“ n个相同元素分给m个不同对象,每人至少分1个元素,问有多少种不同分法”的问题。故分两步进行,第一步先给2号盒子放1个球,3号盒子放2个球,4号盒子放3个球,此时还剩下7个球;第二步将复杂的问题转化成“7个相同的小球,分给4个不同的盒子,每个盒子至少放一个球”的标准模型,方法数为=20种。

  【变形2】n个相同元素分成m份,至少分得多个元素。

  【例2】28份杂志分给3家不同的单位,每家至少8份,问有多少种不同的分配方法?

  A. 14 B.15C. 16D.17

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  【解析】B。解析:要构造“至少分一”,那么先给每家单位7份,这时题目便转化成了“7份相同的杂志分给不同的3家单位,每家至少分一”,有=15种。

  【变形3】n个相同元素分成m份,随意分,分完即可。

  【例3】王老师要将17个一模一样的文具盒分给3个不同的学生,任意分,分完即可,有多少种不同的方法?

  A.160B.171C.231D.560

事业单位行政职业能力测验之数量关系:排列组合之隔板模型

  【解析】B。解析:题目要求“任意分,分完即可”即每个盒子可以为空,即至少0个,不能直接用标准模型来解题,因此首先需要做的是将其转化成标准模型然后进行求解。故分两步进行,第一步先向每个人借1个相同的本子;第二步,将此题转化为“将20本相同的书分给3个不同的学生,每个学生至少一本”的标准模型,则有=171种。

  总结:破解隔板模型的排列组合问题,关键就是在于理解题目含义,找到题干的变形条件将之进行适当转化,从而与标准模型对应起来,根据公式快速求解。

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