数学运算中不定方程专题

数学运算中不定方程专题

　　公务员行政能力测试的考题中，数量关系这一模块始终是很多考生的心头之患，主要在于这一部分内容涉及考点之多以及形式变化多样， 而其中的不定方程题型又是方程问题中的重难点，所以通过以下几种解题方法的介绍希望对广大考生解决这类题型有所帮助。

　　所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数收到某些限制(如要求是有理数、整数或正整数等等)的方程或方程组。在这里，我们主要讨论关于二元一次不定方程的解法。已知a，b，c，未知数为x，y且为整数时，可以列式子为ax+by=c，解题时依据限制条件可以解出x,y的值，根据题意选出适合且唯一的答案即可解题方法可以从以下四种方法入手。

　　1、倍数特性法

　　ax与c或by与c是某个数值的倍数，则可以判定x与y是这个数值的倍数，从而确定其可能值，然后逐一代入验证即可。常见数值一般为2,、4、8、3、9、7等因子。

　　【例1】甲、乙两种笔的单价分别为7元、3元，某小学用60元钱买这两种笔作为学科竞赛一、二等奖奖品。钱恰好用完，则这两种笔最多可买的支数是( )。

　　A. 12 B. 13

　　C. 16 D. 18

　　解析：由题意可列出不定方程7x+3y=60,60是3的倍数，3y也是3的倍数，由此可以判定7x中的x也为3的倍数，当x=3时，得到y=13，当x=6时，y=6，共有两组解，因此最多可买的支数为16，选择C选项。

　　2,、奇偶特性法。主要依据的原则是奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数。根据题目中ax与c或by与c之间的奇偶性分别来判断未知数x与y可能值，然后逐一代入验证即可。可能值若太多，可考虑结合其他方法解题。如尾数法。

　　【例2】(2011吉林)一个质数的3倍与另一个质数的2倍之和等于20，那么这两个质数的和是( )。

　　A. 9 B. 8 C. 7 D. 6

　　解析：设一个质数为x，另一个质数为y，故3x+2y=20，结合奇偶特性解题，2y与20都是偶数，故3x中的x也是偶数，由于题干中要求x还必须是质数，可以推出x=2，代入3x+2y=20解得y=7，和为9，选A。

　　3、代入排除法。题目中问题是求解x或是求解y，只要把选项逐一代入或是居中代入不定方程即可。此法为最简单且最好用的方法，但是随着公务员考试越发成熟，这类简单的题目出题频率再下降。

　　4、枚举法。当以上三中方法都无从解出此道题时，则可使用最基础的方法：枚举法，即当x=1、2、3……n时，直到找出满足题意的y值，这种方法的不足之处在于太费时，在公务员考试中基本上述三种方法就能解决，因此枚举法用的频率并不是特别多。

　　【例3】(2014吉林)某学校组织一次教工接力比赛，共准备了25件奖品分发给获得一、二、三等奖的职工，为设计获得各级奖励的人数，制定两种方案：若一等奖每人发5件，二等奖每人发3件，三等奖每人发2件，刚好发完奖品;若一等奖每人发6件，二等奖每人发3件，三等奖每人发1件，也刚好发完奖品，则获得二等奖的教工有多少人( )

　　A.6 B.5

　　C.4 D.3

　　解析：不定方程组。之后我们会介绍不定方程组的其中一种解法即将其变成不定方程后再根据不定方程的解法求解，由题意列式5x+3y+2z=25,6x+3y+z=25，保留要求未知数变形为7x+3y=25，选项给出了y的值，故可逐一代入验证，直到找到满足题意的x值，结果为6，因此选择A选项。

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